As 4 Operações Básicas com números inteiros e decimais

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O conjunto dos números inteiros

Os inteiros, ou números inteiros, consistem dos números naturais (0, 1, 2, ...) e dos números inteiros negativos (-1, -2, -3, ...). O conjunto de todos os inteiros é normalmente chamado de $ \mathbb{Z} $ (Mais apropriadamente, um Z em blackboard bold, $ \mathbb{Z} $), que vem de Zahlen (do alemão, "número").

Obs: notar que o conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos números inteiros. Podemos simbolizar esta última frase com a seguinte figura:

Conjunto1.jpg

Representação numérica do conjunto Z.

$ \mathbb{Z} = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} $

Se retirarmos o 0 desses conjunto, obtemos o subconjunto:

$ \mathbb{Z}^* = {...,-3,-2,-1,1,2,3,...} $

Outros subconjuntos de $ \mathbb{Z} $:

  • Conjunto dos inteiros não-negativos: $ \mathbb{Z}^+ = {0,1,2,3,...} $
  • Conjunto dos inteiros não-positivos: $ \mathbb{Z}^- = {...,-3,-2,-1,0} $
  • Conjunto dos inteiros positivos: $ \mathbb{Z}^*+ = {1,2,3,...} $
  • Conjunto dos inteiros negativos: $ \mathbb{Z}^*- = {...,-3,-2,-1} $

Notas:

  • $ \mathbb{Z}^+ = \mathbb{N} $
  • $ \mathbb{Z}^*+ = \mathbb{N}^* $

Adição e subtração de números inteiros

Na adição e na subtração, lembre-se:

  • Se os números tiverem o mesmo sinal (forem ambos positivos ou ambos negativos) somamos os módulos e conservamos, no resultado, o sinal que estiver em ambos os números. Ex:

- 2 – 4 = - 6

+8 + 2 = + 10



  • Se os números tiverem sinais diferentes, subtraimos os módulos (o maior do menor) e conservamos, no resultado, o sinal do número que tiver o módulo maior. Ex:

- 4 + 5 = + 1

- 7 + 3 = - 4



  • Quando somamos dois números opostos, o resultado é zero. Ex:

+ 5 – 5 = 0

- 100 + 100 = 0



Exercícios 3

  1. Calcular:

    1. 2 - 2
    2. 2 - 3
    3. 2 - 4
    4. 2 - 5
    5. 2 - 6
    6. 3 - 1
    7. 3 - 2
    8. 3 - 3
    9. 3 - 4
    10. 3 - 5
    11. 5 - 7
    12. 5 - 8
    13. 8 - 5
    14. 6 - 9
    15. 4 - 5
    16. - 4 - 5
    17. - 2 - 2
    18. - 1 - 1
    19. + 5 - 2
    20. - 3 + 0
    21. 8 - 3
    22. 8 - 9
    23. 10 - 3
    24. - 9 - 5
    25. - 5 + 4
    26. 20 - 10
    27. - 1 + 100
    28. A + 1 - 1
    29. A + 1 - A
    30. P + 2 - 2
    31. - X + X

  2. Descobrir o valor de x nas sentenças abaixo:

    1. 3 + x = 8
    2. x - 3 = 5
    3. 3 - x = 8
    4. 5 + x = 4
    5. x - 8 = 4
    6. 12 + x = 30
    7. x - 18 = 0
    8. 4 = x + 12
    9. 3 = x - 5
    10. 3 - x = 2
    11. 5 - x = 8
    12. x - 18 = 18 - x
    13. 20 + x = 20

O "jogo" de sinal

$ (+).(+) = (+); \,\! $

$ (-).(-) = (+); \,\! $

$ (-).(+) = (-); \,\! $

$ (+).(-) = (-); \,\! $

Exercícios 4: Situações de jogo de sinal

  1. Calcule:
    1. $ - \left( { + 5} \right) $
    2. $ - \left( { - 3} \right) $
    3. $ - \left( { - 15} \right) $
    4. $ - \left( { + 20} \right) $
    5. $ - \left( { + 1} \right) $
    6. $ + 3 - \left( { - 2} \right) $
    7. $ - 5 - \left( { - 1} \right) $
    8. $ - 8 - \left( { - 18} \right) $
    9. $ - 3 - \left( { - 10} \right) $
    10. $ 10 - \left( { + 15} \right) $
    11. $ - 8 - \left( { - 2} \right) $
    12. $ - \left( { + 3 + 2} \right) $
    13. $ - \left( { + 5 - 12} \right) $
    14. $ - \left( { + 7 + 8} \right) $
    15. $ + 2 - \left( { + 14 - 1} \right) $
    16. $ 3 - \left( { - 5 + 7} \right) - \left( { - 11 - 2} \right) $
    17. $ - \left[ { + 3 - \left( {5 - 1} \right) - 3} \right] - \left( { + 4} \right) $
    18. $ + \left( { + 8} \right) $
    19. $ + \left( { - 10} \right) $
    20. $ + \left( { - 11} \right) $
    21. $ + \left( { + 13} \right) $
    22. $ + \left( { - 3 + 5} \right) $
    23. $ - 3 + \left( { + 2} \right) $
    24. $ - 7 + \left( { + 9} \right) $
    25. $ + \left( { - 8 + 5 - 3} \right) - \left( { + 5 - 3 - 15} \right) $
    26. $ + \left[ { - 18 + \left( { - 5 - 20 + 4} \right) - \left( {10 - 3} \right)} \right] - \left( { - 31 + 8} \right) $
    27. $ - \left\{ { - 3 + \left[ { - \left( { + 5 - 3 + 4} \right) - \left( { - 3 - 3} \right)} \right]} \right\} - \left[ { + 7 - \left( {2 - 1 + 5} \right)} \right] $
    28. $ - \left\{ {53 + 8 + \left( {7 - 72 + 4} \right) - \left[ { - 2 + \left( {7 - 3} \right)} \right]} \right\} - 37 $
    29. $ - 13 - \left[ {8 + \left( {9 - 10 + 3} \right) - 15} \right] - \left\{ { - 7 - \left( {15 + 8 - 3} \right) - \left[ {17 - \left( {5 + 2} \right)} \right]} \right\} $

Multiplicação e divisão de números inteiros

  • Multiplicamos ou dividimos os números normalmente;
  • Fazemos o jogo de sinal para determinar qual será o sinal do resultado;

Exercícios 5

  1. Coloque V ou F:

    1. $ 3.5 = 15 \,\! $
    2. $ \left( { + 7} \right).\left( { + 2} \right) = + 14 $
    3. $ 3.\left( { + 7} \right) = - 21 $
    4. $ \left( { - 3} \right).\left( { - 2} \right) = + 6 $
    5. $ \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) = - 1 $
    6. $ \left( { - 3} \right).\left( { + 2} \right) = - 6 $
    7. $ \left( { - 4} \right).\left( 1 \right).\left( { + 4} \right) = - 16 $
    8. $ 1.\left( { - 3} \right) = - 3 $
    9. $ - 1.\left( { + 3} \right) = + 3 $
    10. $ 1.3.\left( { - 1} \right) = - 3 $
    11. $ - 2.3.\left( { - 4} \right) = + 24 $
    12. $ 2.\left( { - 3} \right).4 = + 24 $
    13. $ \left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right).\left( { - 4} \right) = - 24 $
    14. $ \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right).\left( { + 2} \right) = - 2 $

  2. Coloque V ou F:

    1. $ \left( { + 18} \right):\left( { + 9} \right) = 2 $
    2. $ \left( { + 18} \right):\left( { - 9} \right) = - 2 $
    3. $ \left( { - 18} \right):\left( { - 9} \right) = - 2 $
    4. $ \left( { - 18} \right):\left( { + 9} \right) = - 2 $
    5. $ \left( { + 12} \right):\left( { - 2} \right) = - 6 $
    6. $ \left( { - 6} \right):\left( { - 3} \right) = 2 $
    7. $ \left( { - 15} \right):\left( { + 3} \right) = 5 $
    8. $ \left[ {\left( { - 18} \right):\left( { + 9} \right)} \right]:\left( { - 2} \right) = 1 $
    9. $ \left[ {\left( { + 10} \right):\left( { - 2} \right)} \right]:\left( { - 5} \right) = - 1 $
    10. $ 20:\left[ {10:\left( { - 2} \right)} \right] = - 4 $

  3. Calcule:

    1. $ \left( { - 20} \right):\left( { + 4} \right) $
    2. $ \left( { + 2} \right):\left( { - 2} \right) $
    3. $ \left( { - 3} \right):\left( { - 3} \right) $
    4. $ \left( {18} \right):\left( { - 6} \right) $
    5. $ \left( {18} \right):\left( { - 3} \right) $
    6. $ \left( { - 10} \right):\left( { - 5} \right) $
    7. $ \left( { + 9} \right):\left( { - 3} \right) $
    8. $ \left( { + 9} \right):\left( { + 3} \right) $
    9. $ \left( { + 1} \right):\left( { + 1} \right) $
    10. $ 0:\left( { - 3} \right) $

Respostas dos Exercícios Propostos

Leitura Complementar: o digito verificador do R.G

Nos documentos como R.G. e C.P.F. o número principal vêm frequentemente acompanhado de um ou dois últimos dígitos separados por um traço. Esses dígitos são o que nós chamamos de digitos verificadores do documento.

RG1.jpg



Esses dígitos são calculados a partir do número do documento. Por exemplo, vamos calcular o dígito do R.G. hipotético 65.478.951;

  • Multiplicamos o último número do R.G. (1) por 2;
  • Multiplicamos o penúltimo número do R.G. (5) por 3;
  • Multiplicamos o antepenúltimo número do R.G. (9) por 4;
  • e assim por diante...

Então teremos a seguinte soma: (257)

RG2.jpg



Daí, pegamos o resultado da soma e dividimos por 11. O dígito verificador será o resto desta divisão.

RG3.jpg



Logo o R.G. em questão será escrito desta forma: 65.478.951 - 4. Tente fazer com o seu documento, veja que funciona!

O módulo de cálculo do dígito é denominado de módulo 11. Você deve estar se perguntando "Para que isso serve?". Por exemplo, imagine que você vai fazer uma compra onde o número do seu documento é pedido no caixa da loja. Caso a atendente errasse na digitação de um número do R.G. ela poderia criar muitos problemas, pois estaria fazendo a compra no nome de outra pessoa. Com o dígito verificador, esse risco é diminuido, pois o computador, quando o R.G. é digitado, calcula o dígito verificador e compara com o valor digitado pela atendente.

Por exemplo, suponha que a atendente, ao digitar o R.G. do nosso exemplo, cometa um erro e digite 66.478.951 - 4. O computador vai calcular o dígito verificador da primeira parte do R.G. digitado, que vai dar 1. Como a atendente digitou o número 4 no lugar do dígito verificador, vai aparecer no computador a mensagem: "R.G. digitado incorretamente."

Vários outros documentos no Brasil usam a técnica do dígito verificador. Mais informações podem ser obtidas na seguinte referência:

http://pt.wikipedia.org/wiki/D%C3%ADgito_verificador



e em vários sites na internet.