Função: Domínio e Conjunto Imagem

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Introdução: Noção Intuitiva de Função

A idéia de função aparece sempre que relacionamos duas grandezas que podem variar seu valor. Por exemplo: Observe a tabela que relaciona a medida do lado de um quadrado com a sua área:

Lado 1 2 3 4 L
Área 1 4 9 16 Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): L^2

Sabemos que, nesse caso: Área = (lado)Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): ^2 .

Temos então que a área de um quadrado depende do seu lado, ou seja, a área de um quadrado é calculada EM FUNÇÃO do seu lado.

Exercícios

1. A tabela abaixo mostra o preço que uma certa companhia telefônica cobra pelo tempo que seus clientes utilizam o celular em ligações locais:

Tempo (minutos) Preço (reais)
1 0,95
2 1,90
3 2,85
4 0,80
5 4,75

Responda:

a) O que é dado em função de que?
b) Escreva a fórmula que relaciona o tempo do telefonema e o preço.
c) Quanto custa uma ligação de 35 minutos? E de 45 minutos?
d) Se um cliente teve sua conta calculada em R$ 123,50, por quanto tempo ele utilizou o celular em horas?

Definindo o conceito de função através dos conjuntos

Definição de função: Dados dois conjuntos A e B, uma função de A em B é uma regra que diz como associar cada elemento de A com um elemento de B.

Vamos considerar novamente a tabela que relaciona a área de um quadrado com o seu lado.

Seja então A um conjunto que contém os valores do lado do quadrado e B o conjunto que contém os valores da área do quadrado. Teremos que:

Função1.jpg

O diagrama de flechas representa uma função que leva os elementos de A ao seu quadrado em B.

É importante observar que todos os elementos de A têm correspondente em B e que, só sai uma flecha de cada elemento de A.

Sendo assim, nesse nosso caso, temos uma função de A em B (Notação: Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): f: A \rightarrow B ) que pode ser escrita pela expressão Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): y = x^2 ou Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): f(x) = x^2 .

Como reconhecer uma função pelo diagrama de flechas

Uma relação f de A em B é uma função se, e somente se, de cada elemento de A partir uma única flecha. Observe:

Função2.jpg

Temos que:

  • Nos casos 1 e 2: O diagrama de flechas representa uma função;
  • Nos casos 3 e 4: O diagrama de flechas não representa uma função.

Exercícios

2. Considerando os conjuntos de cada item e a correspondência que os relaciona, desenhe um diagrama de flechas e responda se a correspondência f é uma função de A em B.

a) Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): A = \left \{ 1,2,3,4 \right \}; B = \left \{ 1,4,9,16 \right \}; y = x^2
b) Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): A = \left \{ 1,2,3,4 \right \}; B = \left \{ 1,4,12,16 \right \}; y = x^2
c) Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): A = \left \{ -1,1,0,5 \right \}; B = \left \{ 0,1,10,25 \right \}; y = x^2
d) Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): A = \left \{ 0,1,2 \right \}; B = \left \{ -2,-1,0,1,2 \right \}; y = x^2
e) Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): A = \left \{ 0,1,2 \right \}; B = \left \{ -2,-1,0,1,2 \right \}; y = x-2
f) Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): A = \left \{ 0,1,2 \right \}; B = \left \{ -2,-1,0,1,2 \right \}; y = x^2-2x+1

Domínio, Contradomínio e Conjunto Imagem de uma função

Vamos considerar uma função f de A em B.

Temos que:

  • A é o domínio da função f (Notação: Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): D\left(f\right) )
  • B é o contradomínio da função f (Notação: Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): CD\left(f\right) )
  • Para cada Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): x \in A , o elemento Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): y \in B chama-se imagem de x pela função f e o representamos por Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): f\left(x\right) (lê-se f de x). O conjunto de todos os y obtidos por f é chamado de conjunto imagem de f (Notação: Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): Im\left(f\right) ).

Observe:

Seja Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): A = \left \{ 0,1,2,3 \right \} e Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): B = \left \{ 0,1,2,3,4,6,7,9 \right \} , vamos considerar a função Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): f: A \rightarrow B que transforma Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): x \in A em Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): 3x \in B .

Função3.jpg

Temos que:

  • Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): f:A \rightarrow B é definida por Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): f\left(x\right)=3x ou Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): y=3x \,\! ;
  • Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): D \left( f \right)=A ou Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): D \left( f \right)= \left \{ 0,1,2,3 \right \} ;
  • Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): CD\left(f\right)=B ou Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): CD\left(f\right)=\left\{0,1,2,3,4,6,7,9\right\} ;
  • Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): Im\left(f\right)=\left\{0,3,6,9\right\} ;
  • Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): f\left(0\right)=0 , Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): f\left(1\right)=3 , Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): f\left(2\right)=6 , Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): f\left(3\right)=9 .

Exercícios

3. Considere a função f dada pelo diagrama e determine:

Função4.jpg

a) D(f)
b) CD(f)
c) Im(f)
d) f(3)
e) f(4)
f) x quando y=8
g) y quando x=3
h) f(x) quando x=4

4. Seja a função Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): f: A \rightarrow B onde Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): f(x) = 4x+2 e o domínio Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): A=\left\{-2,-1,0,1,2,3\right\} . Determine a imagem de f.
5. Seja a função Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): f(x) = x^2+x \,\! . Determine a imagem do número 5.
6. Dada a função Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): f(x) = x^2+4 \,\! . Determine Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): f\left(2\right) e Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): f\left(3\right) .
7. Se Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): f(x)= 3x+2m \,\! e Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): g(x) = -2x+1 \,\! , calcule m sabendo que Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): f\left(0\right)-g\left(1\right)=3 .

Função Sobrejetora, Injetora e Bijetora

Função Sobrejetora: Uma função Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): f: A \rightarrow B é sobrejetora se, e somente se, todo elemento de B é atingido por, pelo menos, uma flecha. (Ou seja, Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): Im \left(f\right) = Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): CD\left(f\right) )

Função Injetora: Uma função Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): f: A \rightarrow B é injetora se, e somente se, cada elemento de B é atingido por, no máximo, uma flecha. (Ou seja, Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): x_1 \ne x_2 então Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): f\left(x_1\right) \ne f\left(x_2\right) )

Função Bijetora: Uma função Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): f: A \rightarrow B é dita bijetora se, e somente se, é sobrejetora e injetora.

Exercícios

8. Classifique as funções do exercício 2. em sobrejetoras, injetoras ou bijetoras.

Estudo do domínio de uma função real

Muitos exercícios pedem para que, uma dada função f, se explicite seu domínio. O domínio de uma função é o maior subconjunto de Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): \mathbb{R} tal que deixe a fórmula Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): y=f\left(x\right) válida.


Veja os exemplos mais comuns:


  • Seja f definida pela fórmula Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): y = 4x+5 \,\! .

Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): D\left(f\right)=\mathbb{R} , pois qualquer que seja o valor real de x, podemos calcular Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): y = 4x+5 \,\! nos reais.


  • Seja f definida por Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): y= \frac{1}{x} .

Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): D\left(f\right)=\mathbb{R}-\left\{0\right\} , pois podemos substituir x por qualquer número real, menos o zero – nunca se esqueça que não existe divisão por zero!


  • Seja f definida por Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): y = \sqrt{x} .

Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): D\left(f\right)=\left\{x \in \mathbb{R} | x \ge 0\right\} , pois podemos substituir x apenas por números reais positivos – nos reais, não existe raiz de número negativo.


Exercícios Resolvidos

Vamos explicitar o domínio da função: Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): f(x)= \sqrt{5-x}+\frac{1}{\sqrt{x-2}} .

Resolução:

  • Calcular Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): \sqrt{5-x} só é possível se Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): 5-x \ge 0 \Rightarrow x \le 5 ;
  • Calcular Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): \sqrt{x-2} só é possível se Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): x-2 \ge 0 , mas, como está no denominador, Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): \sqrt{x-2} precisa ser também diferente de zero. Então: Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): x-2 > 0 \Rightarrow x > 2 ;
  • Assim, Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): D\left( f \right) = \left\{ x \in \mathbb{R} | x \le 5 \land x > 2 \right\} ou Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): \left\{ x \in \mathbb{R} | 2 < x \le 5 \right\} .

Exercícios

9. Explicite o domínio das seguintes funções reais definidas por:

a) Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): \frac{1}{x-6}

b) Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): \frac{x}{x^2-9}

c) Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): x^2+1 \,\!

d) Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): \frac{x+1}{x}

e) Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): \frac{1}{x^2 + 4x - 5}

f) Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): \frac{x+1}{4}

g) Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): \sqrt{x-7}

h) Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): \sqrt{5-x}

i) Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2x-1}}

j) Falhou ao verificar gramática (O executável <code>texvc</code> não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): \frac{\sqrt{x-2}}{x-3}

Resposta dos exercícios

1)

a. O preço é dado em função do tempo
b. P = 0,95.T, onde P = preço em reais e T = tempo em minutos
c. R$ 33,25 ; R$ 42,75
d. 2 horas e 10 minutos

2)

a. É função
b. Não é função
c. É função
d. Não é função
e. É função
f. É função

3)

a. {1,2,3,4}
b. {0,6,7,8,10,12}
c. {0,6,8,10}
d. f(3) = 8
e. f(4) = 10
f. x = 3
g. y = 8
h. f(4) = 10

4) Im(f) = {-6,-2,2,6,10,14}
5) f(5) = 30
6) f(2) = 8; f(3) = 13
7) m = 1

Referências

1. Matemática – Contextos e Aplicações; Volume Único; Luiz Roberto Dante; Editora: Ática
2. Álgebra I – Coleção Objetivo; Giuseppe Nobilioni; Editora Sol